Elementair tellen is evolutionair en neurologisch nog steeds een buitengewoon boeiend onderzoeksgebied.
Tellen op Kennislink
En op kennislink zijn nog een aantal prachtige bronnen over tellen te vinden in het Kennislink-dossier: We raken nooit meer uitgeteld.
Logaritmische Indianen
Interne liniaal komt niet vanzelf
Wat ligt er precies midden tussen 0 en 10? De meeste westerlingen zullen 5 zeggen, maar kinderen denken meer aan 3 of 4, net als de Munduruca-indianen in het Amazonegebied. De mentale schaalverdeling waarbij tussen alle getallen evenveel ruimte zit, lijkt aangeleerd.
Tellen en ruimtelijk inzicht hebben veel met elkaar te maken. Niet alleen zijn het alletwee ingrediënten voor een wiskundeknobbel, ook de bijbehorende hersengebieden zijn goed op elkaar aangesloten.
Getallen kun je je dan ook gemakkelijk voorstellen als punten op een schaalverdeling. Bij de meeste westerlingen is die schaalverdeling, in ieder geval voor kleine getallen, een lineaal: tussen de 1 en de 2 zit evenveel ruimte als tussen de 8 en de 9. Dat is handig, want als je getallen op wilt tellen hoef je je alleen maar twee virtuele lineaaltjes naast elkaar te leggen.
Toch is deze ‘lineaire’ interne getallenschaal niet de enig mogelijke, of zelfs maar de meest natuurlijke. Uit onderzoek is gebleken dat mensen bij continue of grote hoeveelheden, bijvoorbeeld liters water of grote geldbedragen, redeneren volgens een ‘logaritmische’ schaal. Daarop ligt 1 even ver van 10 als 10 van 100 ligt. Hoe groter de hoeveelheden, hoe kleiner de afstanden ertussen.
Zo kun je gemakkelijk getallen van heel verschillende ordes van grootte vergelijken, en de typische schattingsfout is ongeveer overal op de schaal even groot: bij ‘een stuk of tien’ mag je er één à twee naast zitten, en bij ‘een stuk of honderd’ tien à twintig.
Kinderen gebruiken deze ‘logaritmische’ schaal ook bij kleine getallen, heeft eerder onderzoek naar de mentale verwerking van getallen uitgewezen. Pas later verschijnt de lineaire schaal. De vraag is of dat een natuurlijke ontwikkeling is, of een culturele verworvenheid, een gevolg van rekenonderwijs en de vertrouwdheid met linealen, grafieken, en andere lineaire getallenrijtjes in de westerse wereld.
De oplossing is natuurlijk om het te vragen aan mensen die geen rekenonderwijs in welke vorm dan ook gehad hebben, maar makkelijk te vinden zijn die niet. Beroemd om hun ongecijferdheid zijn de Piraha-indianen uit Zuid-Amerika, die geen telwoorden boven twee hebben, en geen verschil zien tussen vier en vijf voorwerpen.
Maar dat is wel erg ongecijferd. Stanislas Dehaene van het Franse INSERM-instituut en collega’s zochten in plaats daarvan de Mundurucu-indianen in Brazilië op. Die kunnen wat beter tellen, maar rekenen, grafieken, tabellen linealen komen ze zelden tot nooit tegen.
Op een computerscherm lieten ze aan 33 Mundurucu-indianen bij wijze van voorbeeld de getallen 1 links en 10 rechts zien, voorgesteld als aantallen stipjes. Vervolgens kregen de proefpersonen de vraag om andere getallen ook op die lijn te plaatsen. Ter controle deden ook Amerikanen deze test.
De indianen bleken een stuk logaritmischer te denken dan de westerlingen: de 3 en de 4 werden meestal ongeveer in het midden geplaatst, terwijl de Amerikanen daar de 5 neerzetten. In grafiekjes van de Amerikaanse getallenschaal, afgezet tegen hun positie, zijn rechte lijnen te zien, op die van de Mundurucu kromme bogen.
Dehaene en collega’s kregen dezelfde resultaten als de proefpersonen aantallen piepjes moesten tellen, en ook werd ze gevraagd getallen op de lijn te zetten die voorgelezen werden. Opmerkelijk was dat de taal er daarbij toe deed. Indianen ordenden getallen in het Mundurucu logaritmisch, maar in het Portugees kwam de ordening al een stuk dichter bij de lineaire, vooral bij proefpersonen die meer opleiding hadden. Het Mundurucu ‘Pug pogbi xex xex bodi’ (7) licht voor hen dus ietsje rechts van het Portugese ‘Sete’ (7).
Het lijkt erop dat het mentale lineaal inderdaad aangeleerd is, een culturele verworvenheid waarvan de sterkte zelfs in één persoon afhankelijk kan zijn van de taal.
Bruno van Wayenburg, Noorderlicht
Bron: Stanislas Dehaene, et al. (2008). ‘Log of Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Culture’, In; Science, May 30 2008
In de NRC van 18 maart 2007 verscheen het artikel
Getalbegrip uit Afrika
Afrikaans rekenbotje laat minstens zien dat de mens al lang telt
door: Ionica Smeets
Onderwerp zijn de Ishango-beentjes; botjes met inkervingen die worden gezien als de eerste menselijke uitingen van tellen.
bron: Koninklijk Museum voor Natuurwetenschappen,
In de NRC van 20 augustus 2004 verscheen het artikel
Een volk dat niet kan tellen
Indianenstam kent geen bijzinnen en verleden tijd
door Hendrik Spiering
Het NRC archief is helaas alleen tegen betaling te raadplegen, zodat ook een link naar dat artikel niet mogelijk is. Zie verder www.nrc.nl -> archief -> digitaal krantenarchief
Het artikel gaat over het onderzoek van Peter Gordon onder de Pirahã stam in het Amazone-gebied. Het wetenschappelijk artikel is gepubliceerd in Science.
Hieronder enkele links naar samenvattingen:
– Kennislink: Woordenloos tellen kan niet
– MSNBC
Op de ICME-10 in Kopenhagen werd op 12 juli 2004 een onderzoek gepresenteerd onder diverse groepen in Papua New Guinea naar hun oorspronkelijke telsystemen.
Rich Transitions from Indigenous Counting Systems to English Arithmetic Strategies
Onderzoek door Rex Matang en Kay Owens.
Het artikel is te vinden op de website van ICME-10 onder discussiegroep 15
In de NRC van 3 juli 2004 verscheen het artikel
Voorbij het magische getal 4.
James Hurford over de stapsgewijze ontwikkeling van telwoorden.
door Berthold van Maris
Het NRC archief is helaas alleen tegen betaling te raadplegen, zodat ook een link naar dat artikel niet mogelijk is. Zie verder www.nrc.nl -> archief -> digitaal krantenarchief
Op Hurford’s eigen website kunt u het artikel gewoon vinden: